neděle 13. září 2015

Distribuce dle Rosin-Rammler-Sperling-Bennet

(... a někdy taky Weillbull. Aneb co nás na výšce neučili.)

Tentokrát to bude pro změnu z technického soudku. V rámci mého zaměstnání v PSP Engineering dnes a denně pracuji s práškovými materiály. Většinu času se mi už fyzicky do ruky nedostávají. Nejsem-li někde na služební cestě, sedím v kanceláři a zde pouze v myšlenkách melu, třídím, suším a chladím. Ať už je to cement, vápenec, vysokopecní struska nebo sádrovec, jednou ze základních charakteristik těchto materiálů zůstává distribuce velikosti částic. Pokusím se krátce popsat jeden z nejdůležitějších matematických modelů tuto vlastnost popisujících.

 Jedna ze služební cesty do Tanzanie. Ani zde jsme se však se zpracovávaným materiálem nesetkali. Během našeho pobytu mlýnici nestihli připravit na ostrý start (Foto: Z. S.).

Distribuce velikosti částic nebo, chcete-li, jemnost není možné popsat jedním číslem, jakkoli se tak v praxi běžně děje. Problematika je složitější. Jestliže napíšeme 14 % R90 μm, což je mimochodem velmi obvyklá jemnost surovinové moučky při výrobě cementu, řekne nám to, že sítem o velikosti oka 90 μm propadne 86 % materiálu. Co je však nad tím a pod tím? Jakou velikost budou mít největší zrna ve vzorku? Nebo naopak, jaký bude podíl velmi jemných částic pod 40 μm? Bůh suď. Samozřejmě můžeme problém vyřešit tím, že zavedeme další a další síta. Můžeme použít R200 μm, R63 μm, R40 μm nebo i spoustu dalších sít ze standardní řady. Můžeme také vzorek podrobit laserové granulometrické analýze. Každopádně, budeme-li chtít distribuci popsat opravdu důkladně, čísel to bude hodně.

Existuje jednodušší řešení: Popsat granulometrii materiálu některou z matematických distribučních funkcí. Pak nám zpravidla stačí několik málo parametrů a pomocí dopočtu získáme o distribuci částic s určitou pravděpodobností úplnou představu. V praxi zpracování práškových materiálů je asi nejhojněji využívanou právě distribuční funkce, kterou postupně vyvinuli pánové Rosin, Rammler, Sperling, Bennet a Weillbull (dále jen RRSB). Teď tedy trocha tvrdé matematiky. Základní tvar funkce vypadá takto:


Pojďme si něco říct o jednotlivých konstantách a proměnných rovnice. R, jak už bylo naznačeno, znamená zbytek na sítě určité okatosti v [%]. Značka pochází z anglického residue, tj. zbytek. Pokud by tam bylo napsáno U, znamenalo by to undersize, čili propad. Propady se však v praxi příliš nepoužívají, z logiky věci beztak vyplývá, že U = 100 – R. Další proměnnou je x, což je právě okatost síta v [μm]. Dvojice R – x tvoří základní datovou řadu RRSB distribuční funkce. Další písmenka už označují konstanty. m je tzv. směrnice distribuční funkce, k významu konstanty a se vrátím později.

Jak se s tím porovnat? Máme laserový granulometrický rozbor nějakého práškového materiálu, který nám ke každé velikosti x přiřadí právě jeden odpovídající zbytek R. Vyneseme-li si to do excelovského grafu tak, jak to leží a běží, k vyčíslení konstant se nedostaneme. Základní tvar funkce je totiž nutné nejprve převést do tvaru přímky. Jak na to? Pojďte si to projít se mnou:

  

Nyní můžeme začít zuřivě logaritmovat:

 

Tak jsme se dostali do finální podoby, se kterou je již možné pracovat. Vyneseme-li si nyní v excelu závislost log log (100/R) = f(log x) do grafu, mělo by nám vyjít něco, co se blíží přímce. Přímku si proložíme lineární regresí, výstupem bude funkce ve tvaru:


RRSB analýza vzorku krupice třídiče v mlýnici portlandského slinku. Úskalím všech distribučních funkcí je skutečnost, že granulometrii popisují pouze s určitou pravděpodobností. V tomto případě je shoda skutečné granulometrie s matematickým modelem 89 %, což není žádná sláva. Bývá to i lepší.

Porovnáme-li poslední dvě rovnice, je naprosto zřejmé, že:


Konstanty RRSB distribuční funkce m a a teď už není problém získat triviálním dopočtem. Máme tak de facto všechno, co potřebujeme. Celá distribuce velikosti částic zkoumaného materiálu je popsaná pouhými dvěma čísly. Vraťme se však zpět do praxe. Konstanty m a a se ve svém původním tvaru příliš nepoužívají. Na první pohled totiž nejsou snadno rozklíčovatelné. Situaci je potřeba trošku zpřehlednit. Dosáhneme toho tak, že si místo a zvolíme jednu dvojici z původní datové řady R – x. Zpravidla tu, která nás nejvíce zajímá. A m převedeme na úhel stoupání regresní přímky α:


To by bylo vlastně vše. Jen ještě o významu konstanty a, jak jsem slíbil. Je pouze matematický. Vzpomeneme-li si na základní tvar RRSB distribuční funkce a zkusíme si představit situaci, kdy a se rovná x, pak:


Konstanta a tedy odpovídá rozměru, při kterém je odpovídající zbytek 36,8 %. A to už je vážně úplně vše.

Žádné komentáře:

Okomentovat