neděle 22. září 2013

Základy diferenciálního počtu pro matematické BFU (1. část)

Už nějakou dobu si hraju s myšlenkou napsat článek o tomto ožehavém tématu. Přiznejme si fakt, že ačkoli jsou články týkající se diferenciálního počtu na wikipedii poměrně milosrdné, průměrný středoškolák, který se s derivacemi, integrály a podobnými svinstvy nikdy nesetkal, bude mít s jejich pochopením pravděpodobně problém. Ale právě vniknutí do základů diferenciálního počtu může např. studium fyziky změnit ze šprtání se vztahů nazpaměť směrem k hlubšímu pochopení souvislostí a „profesionálnímu“ nadhledu.

Pro koho je článek určen? Pro studenty středních škol, kteří derivace a integrály nebrali a přitom se hlásí na vysoké školy, kde je zřejmě budou potřebovat. Pro studenty středních škol a gymnázií, kteří to sice brali, ale buď dávno nebo málo nebo blbě, takže by přivítali opakování. Pro ambiciózní studenty středních škol (za nás se jim poněkud nepřesně říkalo iniciativní blbci), kteří si chtějí jen prohloubit znalosti. Článek je určen také pro studenty vysokých škol, kteří jsou nuceni projít předměty jako fyzika, matematika či chemie, a přitom to nejsou jejich profilové předměty. Učebnicovým příkladem těchto lidí jsou studenti medicíny. Teoreticky by tento článek mohl být určen i pro studenty vysokých škol zaměřených na matematiku, fyziku či chemii, příp. strojírenství či stavebnictví atd., kteří studium z nějakého důvodu nezvládají, ale zde je nutno si kriticky přiznat jednu věc. Jestli vám tento článek pomůže, je něco hodně špatně a měli byste možná uvažovat o změně školy. Všechno, co bude řečeno, byste totiž měli dávno znát.

Pro jistotu a klid duše dodávám, pro koho článek není určen. Článek není určen pro studenty vysokých škol zaměřených na matematiku, fyziku, či chemii, případně strojírenství, stavebnictví atd., kteří studium z nějakého důvodu zvládají. A už vůbec není určen pro čisté matematiky a lidi, kteří se matematikou nedejbože i živí. Zaprvé je to pro vás ztráta času a za druhé budu používat určitá zjednodušení, ze kterých by vás mohl trefit šlak. V zájmu zachování vlastního duševního zdraví, nečtěte dál.

Funkce

Upřímně doufám, že se ke všem lidem věku 15+ doneslo, že existují matematické funkce a doufám také, že většina z nich dokáže tento pojem i vysvětlit. Ti, kdo si odpověděli kladně na obě dvě otázky a znají též pojmy jako definiční obor, obor hodnot, spojitost funkce atd., mohou rovnou postoupit na další kapitolu. Jestli je někdo takový, kdo si odpověděl na obě otázky záporně, ať dále nečte, opustí tento web a nejlépe celý internet a hlavně, ať se vzdá svého volebního práva, tak ten bude číst následující kapitolu velice, velice pozorně.

Takže, co je to funkce? Lze najít, že:

„Funkce f je takové zobrazení z množiny A do množiny B, které každému x z množiny A přiřadí právě jedno y z množiny B.“

Jak to můžeme chápat? Jedná se o předpis, který popisuje závislost. Představte si, že jedeme autem z Přerova do Prahy. Vaše okamžitá vzdálenost od Přerova (označme s) bude závislá mj. na době jízdy (označme t). Matematicky se tato závislost zapisuje tímto způsobem: vzdálenost od Přerova s je funkcí doby jízdy t, neboli s = f(t). Tak se to prostě píše, berte to jako dogma.

Pojedete-li hypoteticky stále stejnou rychlostí 100 km/h, bude se jednat o přímou úměrnost a bude možné napsat, že s = f(t) = 100t. To znamená, že funkce s = f(t) vezme každou hodnotu t, vynásobí ji stovkou a tak získá příslušnou hodnotu s. Ke každé hodnotě t je tak přiřazena právě jedna hodnota s.

Jiný příklad. Máte jednoduchý elektrický obvod, který má odpor R = 200 Ω. Budete-li zvyšovat zdrojové napětí U, bude se zvyšovat procházející proud I. Zde proud I závisí na hodnotě zdrojového napětí U a tuto závislost můžeme popsat funkcí I = f(U). Z Ohmova zákona je pak zřejmé, že:

Funkce I = f(U) vezme U, podělí ho číslem 200 a ke každému U tak přiřadí právě jednu hodnotu I.

Už několikrát jsem použil obrat „právě jedna“. Nedělal bych to, kdyby to nebylo opravdu důležité. Funkce y = f(x) totiž nemůže jednomu x přiřadit více než jednu hodnotu y. Naopak to však jde, jednu konkrétní hodnotu y lze získat z více parametrů x. Vysvětlíme si to na následujícím příkladu.

Opět jedete z Přerova do Prahy, avšak tentokrát nebudete spěchat a zastavíte se hezky na Rohlence na kafíčko. To znamená, že prvních 83 km pojedete konstantní rychlostí 100 km/h, pak budete 30 min stát a poté pojedete zase konstantní rychlostí 100 km/h až do Práglu. Pokud bychom si to nakreslili do grafu, tak by to vypadalo následovně (upozorňuji, že tato funkce s = f(t) se nerovná výrazu 100t):


Jak vídíte, ať už do funkce s = f(t) dosadíte hodnotu 50, 60, 70 nebo 80 min, vždycky vám funkce vrátí hodnotu s = 83 km. To je cajk, ničemu to nevadí. Kdybyste však závislost otočili a řekli: „Je sice fajn, že si myslíte že vzdálenost od Přerova je závislá na době jízdy, podle nás je však doba jízdy závislá na vzdálenosti od Přerova, tedy t = f(s)“ Tak to byste řekli pěknou blbost, protože to by znamenalo, že jednomu s (83 km) je možné přiřadit více hodnot t. To není cajk, to by se vaše paní matikářka zlobila. Vypadalo by to nějak takto:


Na těch grafech je to hezky vidět. Když jste schopní sestrojit na grafu funkce jakoukoli svislou čáru (rovnoběžnou s osou y), která protíná více než jeden bod na křivce funkční závislosti, pak tato funkce není funkce. Na prvním grafu to nedokážete, jedná se o funkci, na druhém grafu to dokážete snadno, tedy se nejedná o funkci.

Teď si řekneme ještě něco o definičním oboru, oboru hodnot a dalších vlastnostech funkcí a budeme to mít z krku.

Definiční obor funkce Df je množina čísel, které můžeme do funkce y = f(x) zadat jako parametr x, aniž by došlo k „fatal error“. U některých funkcí je definiční obor roven všem reálným číslům, takovou funkcí je třeba y = f(x) = sin x. Na následujícím obrázku je zobrazen graf této funkce, takže si můžete ověřit, že se opravdu táhne od nevidim do nevidim.


Existuje však celá řada funkcí, které se nemohou honosit vlastností Df = R. Důvodem může být jednak čirá matematika, např. taková funce y = f(x) = tg x by se asi moc příjemně netvářila, kdybyste se do ní pokoušeli rvát hodnotu 90°. Nebo jakákoli funkce s parametrem x ve jmenovateli zlomku, případně funkce y = f(x) = ln x. Tyto funkce také nejsou k některým číslům příliš snášenlivé. Graf funkce y = f(x) = ln x je na následujícím obrázku, pro čísla x ≤ 0 funkce prostě nemá hodnoty.


Druhým důvodem omezení definičního oboru je pak fyzikální smysl funkcí. Stavová rovnice ideálního plynu má tvar pV = nRT, kde p je tlak v pascalech a T teplota v kelvinech (ostatní veličiny teď neřešíme). Rovnici můžeme zapsat též jako:


Tedy tlak ideálního plynu je přímo úměrný jeho teplotě. Přímá úměrnost je funkce, která má z čistě matematického hlediska definiční obor roven všem reálným číslům. V tomto případě je však zřejmé, že za T nemůžeme dosadit záporné číslo. Teplota v kelvinech nedosahuje záporných hodnot a i kdybychom zápornou hodnotu do rovnice funkce dosadili, dostali bychom jako výsledek zápornou hodnotu tlaku, což už je úplná blbost. Fyzikální smysl funkcí omezuje jejich definiční obor ve většině praktických případů.

V případě oboru hodnot Hf funkce y = f(x) se jedná o množinu čísel y, které bychom získali, kdybychom do funkce dosadili všechna možná x z definičního oboru Df. Obor hodnot funkce někdy není úplně snadné určit. U jednoduchých funkcí typu přímé úměry, funkce y = sin x nebo y = ln x je to ještě v pohodě, v případě přímé úměry Hf = R, u funkce y = sin x se Hf rovná uzavřenému intervalu od -1  do 1 a u funkce y = ln x je Hf opět rovno všem reálným číslům. Hádejte proč? V případě složitějších funkcí je však pro určení oboru hodnot nutné znát pokročilé postupy diferenciálního počtu, kterým se budu věnovat v dalších částech tohoto seriálu. Nepříjdete o to, ale teď by bylo ještě brzo.

Mezi další významné vlastnosti funkcí patří jejich spojitost, monotónnost, sudost, lichost, prostost, omezenost atd. Je toho dost a většina z toho ani není v tuto chvíli příliš potřeba. Jediná věc, kterou je nutné pořádně pochopit je spojitost funkce. Jen spojité funkce je totiž možné v celém svém definičním oboru derivovat. V místě, kde není funkce spojitá, neexistuje derivace. Takže co to vlastně ta spojitost je? Dalo by se říct, že funkce je spojitá tehdy, když je možné její graf nakreslit jedním tahem, ale zase tak snadné to není.

Představte si, že máte funkci y = sin x. Její graf byl uveden výše, ale pro přehlednost ho dávám ještě i sem. Je vidět, že funkce je spojitá v celém oboru reálných čísel. To je paráda, můžeme derivovat jak vzteklí.


Pak máme funkci y = tg x. Její graf je uveden na následujícím obrázku. Vypadá to, jako by se jednalo o nespojitou funkci. Ano i ne. Tato funkce je opravdu nespojitá, bereme-li v úvahu celý obor reálných čísel, ale vzhledem k tomu, že body nespojitosti (-270°, -90°, 90°, 270° atd.) nepatří do definičního oboru této funkce, je možné říct, že je na svém definičním oboru spojitá. Takže to je taky v pohodě. Nespojité body stojí mimo definiční obor, stejně je neřešíme. Proto i tady derivujeme jak vzteklí. (Poznámka: U všech grafů goniometrických funkcí je osa x uvedena v radiánech.)


Zásadní problém nastává až tehdy, je-li funkce nespojitá v rámci svého definičním oboru nebo je-li samotný definiční obor tvořen diskrétními čísly. Jedná se např. o případy, kdy definiční obor roven celým nebo přirozeným číslům. Ve fyzikální praxi neexistuje moc funkcí, které by měly definiční obor tvořen diskrétními čísly, v tuto chvíli mě napadá pouze tzv. binomická distribuční funkce ze statistiky. V ostatních oborech lidské činnosti, např. v sociologii, ekonomii a podobných více či méně obskurních vědách, však mohou být tyto funkce poměrně četné.

Zavzpomínáme si teď na socialismus a jednotná zemědělská družstva. Je pochopitelné, že čím více družstevníků se přidalo do družstva, tím víc mělo družstvo např. krav. Tuto závislost lze popsat funkcí k = f(d), kde k je počet krav a d počet sedláků, kteří se přidali do družstva. Graf funkce by mohl vypadat nějak takto.


Mezi jednotlivé body nelze nakreslit čáry, funkce mezi nimi není definována, neexistuje totiž 1,285 sedláka a mimochodem ani 2,354 krávy. Jde tedy o typickou nespojitou funkci, není šance ji derivovat.

Tak to by bylo pro tuto chvíli asi všechno. Pohoda, co? Pokračovat budu zase příště a to už bude trošku palba.

Žádné komentáře:

Okomentovat